Chương II. Tính chia hết trong tập hợp các số tự nhiên

Ôn tập cuối chương II

Ôn lại quan hệ chia hết, dấu hiệu chia hết, số nguyên tố, ƯCLN và BCNN của chương II.

Tóm tắt kiến thức

Nội dung	Cần nhớ
Chia hết	$a ⋮ b ⟺ a = k \cdot b$ ( $b \neq = 0$ ); $b$ là ước, $a$ là bội
Dấu hiệu	Cho 2: tận cùng chẵn. Cho 5: tận cùng 0 hoặc 5. Cho 3, 9: tổng các chữ số chia hết cho 3, 9
Số nguyên tố	Lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó
ƯCLN	Thừa số nguyên tố chung, số mũ nhỏ nhất
BCNN	Thừa số nguyên tố chung và riêng, số mũ lớn nhất
Phân tích ra thừa số nguyên tố	Dùng sơ đồ cây hoặc sơ đồ cột; viết các thừa số từ bé đến lớn, gộp thành luỹ thừa
Rút gọn phân số	Chia cả tử và mẫu cho ƯCLN thì được phân số tối giản; ƯCLN $(a, b) = 1$ thì $a$ , $b$ nguyên tố cùng nhau
Quy đồng mẫu	Mẫu chung thường lấy là BCNN của các mẫu

Ghi nhớ: ƯCLN dùng cho bài toán "chia đều, nhiều nhất"; BCNN dùng cho bài toán "bao lâu thì gặp lại, ít nhất".

Các dạng bài thường gặp

Ví dụ. Cô Hoa có 60 cái kẹo và 45 cái bánh, muốn chia thành các phần quà giống nhau với số phần nhiều nhất. Chia được bao nhiêu phần?

Số phần là ước chung của 60 và 45; muốn nhiều nhất thì lấy ƯCLN.
$60 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5$ , $45 = 3^{2} \cdot 5$ nên $Ư CLN (60, 45) = 3 \cdot 5 = 15$ .

Kết quả: Chia được 15 phần, mỗi phần 4 cái kẹo và 3 cái bánh.

Ví dụ. Tìm chữ số

*

để số

7 * 5

chia hết cho 9.

Tổng các chữ số: $7 + * + 5 = 12 + *$ .
Cần $(12 + *) ⋮ 9$ . Với $*$ là chữ số từ 0 đến 9, chỉ có $12 + 6 = 18$ .

Kết quả:

* = 6

, số cần tìm là

765

Ví dụ. Xếp 48 bạn thành các hàng có số bạn bằng nhau, mỗi hàng từ 3 đến 12 bạn. Có mấy cách xếp?

Số bạn mỗi hàng là ước của 48: $Ư (48) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 24; 48}$ .
Chọn các ước từ 3 đến 12: $3; 4; 6; 8; 12$ .

Kết quả: Có 5 cách xếp.

Ví dụ. Dùng dấu hiệu chia hết, cho biết số

3240

có chia hết cho 2; 3; 5; 9; 10 không.

Tận cùng là 0 nên chia hết cho 2, 5 và 10.
Tổng các chữ số $3 + 2 + 4 + 0 = 9$ chia hết cho 9 và cho 3.

Kết quả:

3240

chia hết cho cả 2; 3; 5; 9; 10.

Ví dụ. Tìm số tự nhiên

a

lớn nhất sao cho

24 ⋮ a

60 ⋮ a

và

84 ⋮ a

$a$ là ước chung của ba số, lớn nhất nên $a = Ư CLN (24, 60, 84)$ .
$24 = 2^{3} \cdot 3$ , $60 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5$ , $84 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 7$ nên ƯCLN là $2^{2} \cdot 3 = 12$ .

Kết quả:

a = 12

Mở rộng

Khi gặp bài toán tìm số, hãy tự hỏi: đề bài đang cần "chung" hay "riêng", cần "lớn nhất" hay "nhỏ nhất"? Đề nói "chia đều", "xếp thành các nhóm bằng nhau", "cạnh ô vuông lớn nhất" thường là ƯCLN. Đề nói "đến lúc cùng xảy ra", "lặp lại", "ít nhất sau" thường là BCNN.

Một mẹo kiểm tra nhanh: $Ư CLN (a, b) \cdot BCNN (a, b) = a \cdot b$ . Thử với $12$ và $18$ : $6 \cdot 36 = 216 = 12 \cdot 18$ .