Bài 35. Trung điểm của đoạn thẳng

Nhận biết trung điểm của đoạn thẳng và dùng nó để tính độ dài.

Trung điểm của đoạn thẳng

Điểm $M$ gọi là trung điểm của đoạn thẳng $A B$ nếu $M$ nằm giữa $A$ , $B$ và cách đều hai đầu mút: $M A = M B$ .

M

là trung điểm của

A B

MA = MB = \dfrac{AB}{2}

Độ dài mỗi nửa

Chú ý: Phải đủ hai điều kiện:

M

nằm giữa

A

B

và

M A = M B

. Chỉ có

M A = M B

thì chưa chắc

M

là trung điểm.

M A = M B

nhưng

M

không nằm giữa

A

và

B

Ví dụ. Đoạn thẳng

A B = 14

cm,

I

là trung điểm của

A B

. Tính

I A

và

I B

$I$ là trung điểm nên $I A = I B$ .
$I A = I B = 14 : 2 = 7$ (cm).

Kết quả:

I A = I B = 7

Cách xác định trung điểm và bài toán

Dùng thước: đo $A B$ , chia đôi, rồi đánh dấu điểm cách $A$ một nửa độ dài đó.
Gấp giấy hoặc gấp dây: gấp sao cho hai đầu $A$ , $B$ trùng nhau, nếp gấp cắt đoạn tại trung điểm.
Suy ra độ dài: biết $M$ là trung điểm thì $A B = 2 \cdot A M$ .

Chia đôi hai lần để chia

A B

thành bốn phần bằng nhau

Ví dụ. Cho

A B = 7

cm, điểm

C

nằm giữa

A

và

B

với

A C = 3

cm.

M

là trung điểm của

A B

. Tính

C M

$M$ là trung điểm nên $A M = 7 : 2 = 3, 5$ cm.
$C$ nằm giữa $A$ và $M$ (vì $3 < 3, 5$ ) nên $C M = A M - A C = 3, 5 - 3 = 0, 5$ (cm).

Kết quả:

C M = 0, 5

Luyện tập chung

Khi gặp nhiều trung điểm, hãy vẽ hình, xác định thứ tự các điểm trên đường thẳng rồi dùng hai hệ thức: $A B = A C + C B$ khi $C$ nằm giữa $A$ , $B$ , và độ dài mỗi nửa bằng độ dài cả đoạn chia $2$ .

Ví dụ. Cho điểm

C

nằm giữa hai điểm

A

và

B

. Gọi

M

N

lần lượt là trung điểm của

A C

C B

. Biết

A B = 10

cm,

A M = 2

cm. a) Điểm

C

nằm giữa những cặp điểm nào trong năm điểm

A

M

C

N

B

? b) Tính

A C

C B

và

N B

Thứ tự các điểm trên đường thẳng là $A$ , $M$ , $C$ , $N$ , $B$ ( $M$ thuộc $A C$ , $N$ thuộc $C B$ ).
a) $C$ nằm giữa các cặp $A$ và $B$ ; $A$ và $N$ ; $M$ và $N$ ; $M$ và $B$ .
b) $M$ là trung điểm của $A C$ nên $A C = 2 \cdot A M = 2 \cdot 2 = 4$ (cm).
$C$ nằm giữa $A$ và $B$ nên $C B = A B - A C = 10 - 4 = 6$ (cm).
$N$ là trung điểm của $C B$ nên $N B = C B : 2 = 6 : 2 = 3$ (cm).

Kết quả: a)

A

và

B

;

A

và

N

;

M

và

N

;

M

và

B

. b)

A C = 4

cm,

C B = 6

cm,

N B = 3

cm.

Mở rộng

Hẹn gặp ở giữa đường. Hai bạn ở hai đầu một con đường dài 2,4 km muốn gặp nhau mà đi quãng đường bằng nhau thì phải gặp ở trung điểm, cách mỗi người 1,2 km.

Muốn chia một sợi dây thành 4 phần bằng nhau mà không có thước, hãy gấp đôi dây để tìm trung điểm, rồi gấp đôi lần nữa. Thợ may, thợ mộc thường dùng cách gấp để tìm điểm giữa như vậy. Chia đôi $n$ lần liên tiếp thì dây được chia thành $2^{n}$ phần bằng nhau: $2$ , $4$ , $8$ ,...

Khoảng cách giữa hai trung điểm. Trong bài luyện tập trên, $M N = M C + C N = \frac{A C}{2} + \frac{C B}{2} = \frac{A B}{2}$ . Thật vậy, $M N = 2 + 3 = 5$ cm, bằng nửa của $A B = 10$ cm. Kết quả này đúng với mọi vị trí của $C$ giữa $A$ và $B$ .