Bài 32. Điểm và đường thẳng

Làm quen điểm, đường thẳng, ba điểm thẳng hàng và ba vị trí của hai đường thẳng: cắt nhau, song song, trùng nhau.

Điểm, đường thẳng

Một chấm nhỏ trên giấy là hình ảnh của điểm; một nét thẳng vẽ bằng bút và thước là hình ảnh của đường thẳng. Điểm đặt tên bằng chữ cái in hoa ( $A$ , $B$ , $M$ ,...), đường thẳng đặt tên bằng chữ cái thường ( $a$ , $b$ , $d$ ,...).

Điểm

A

thuộc

d

, điểm

B

không thuộc

d

Kí hiệu	Đọc là	Ví dụ
$\in$	thuộc	$A \in d$ : điểm $A$ thuộc đường thẳng $d$
$\in /$	không thuộc	$B \in / d$ : điểm $B$ không thuộc $d$

Khi $A \in d$ , ta còn nói: điểm $A$ nằm trên đường thẳng $d$ , hay đường thẳng $d$ đi qua điểm $A$ .

Ghi nhớ: Qua hai điểm phân biệt có một và chỉ một đường thẳng. Vì vậy ta gọi tên đường thẳng theo hai điểm, chẳng hạn đường thẳng

A B

Đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt $A$ , $B$ gọi là đường thẳng $A B$ hay đường thẳng $B A$ . Để nhấn mạnh hai phía của đường thẳng, người ta còn đặt tên bằng hai chữ cái thường, chẳng hạn đường thẳng $x y$ (hay $y x$ ).

Ví dụ. Cho đường thẳng

d

chứa các điểm

P

và

Q

, còn điểm

R

nằm ngoài

d

. Viết bằng kí hiệu.

Điểm nằm trên đường thẳng thì dùng $\in$ , nằm ngoài thì dùng $\in /$ .

Kết quả:

P \in d

Q \in d

R \in / d

Ba điểm thẳng hàng

Ba điểm cùng thuộc một đường thẳng gọi là ba điểm thẳng hàng. Nếu không có đường thẳng nào đi qua cả ba điểm thì chúng không thẳng hàng.

Thẳng hàng và không thẳng hàng

Ví dụ. Trên đường thẳng

d

có các điểm

A

B

C

; điểm

D

nằm ngoài

d

. Bộ ba điểm nào thẳng hàng?

$A$ , $B$ , $C$ cùng thuộc $d$ nên thẳng hàng.
Bộ ba có $D$ (ví dụ $A$ , $B$ , $D$ ) thì $D \in / d$ nên không thẳng hàng.

Kết quả: Chỉ có

A

B

C

thẳng hàng.

Hai đường thẳng: cắt nhau, song song, trùng nhau

Ba vị trí của hai đường thẳng

Cắt nhau: có đúng một điểm chung, gọi là giao điểm (hình bên trái: $O$ ).
Song song: không có điểm chung. Kí hiệu $a ∥ b$ (đọc là $a$ song song với $b$ ).
Trùng nhau: có vô số điểm chung, hai đường thẳng là một.

Cho ba điểm $A$ , $B$ , $C$ không thẳng hàng. Ba đường thẳng $A B$ , $B C$ , $C A$ đôi một cắt nhau: hai đường bất kì trong chúng cắt nhau tại một trong ba điểm đã cho (đường $A B$ và $A C$ cắt nhau tại $A$ ).

Mẹo: Hai đường thẳng phân biệt chỉ có hai khả năng: cắt nhau (1 điểm chung) hoặc song song (không có điểm chung). Chúng không thể có đúng 2 điểm chung, vì qua 2 điểm chỉ có một đường thẳng.

Mở rộng

Đếm đường thẳng. Cho 4 điểm, không có ba điểm nào thẳng hàng. Cặp điểm nào cũng cho đúng một đường thẳng, và mỗi đường thẳng chứa đúng hai điểm đã cho. Có $\frac{4 \cdot 3}{2} = 6$ cặp nên có 6 đường thẳng.

Bốn điểm tạo 6 đường thẳng

Tổng quát, $n$ điểm ( $n \geq 2$ ) mà không có ba điểm nào thẳng hàng cho $\frac{n ( n - 1 )}{2}$ đường thẳng (nhân $n (n - 1)$ rồi chia 2 vì mỗi đường thẳng bị đếm hai lần). Thợ xây dùng ý này để căng dây: hai cọc ở hai đầu cho đúng một đường thẳng, hàng gạch hay hàng cây dọc theo sợi dây sẽ thẳng hàng.