Bài 26. Phép nhân và phép chia phân số

Nhân, chia phân số; tính chất của phép nhân, phân số nghịch đảo.

Phép nhân hai phân số

Quy tắc nhân phân số vẫn đúng khi tử và mẫu là số nguyên: muốn nhân hai phân số, ta nhân các tử với nhau và nhân các mẫu với nhau.

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

Ví dụ. Tính

\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{10}

Nhân tử và mẫu: $\frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 10} = \frac{18}{30}$ .
Rút gọn cho $6$ : $\frac{18}{30} = \frac{3}{5}$ .

Kết quả:

\frac{3}{5}

Nhận xét. Muốn nhân một số nguyên với một phân số, ta nhân số nguyên đó với tử của phân số và giữ nguyên mẫu.

Ví dụ. Tính

(- 3) \cdot \frac{4}{7}

$(- 3) \cdot \frac{4}{7} = \frac{( - 3 ) \cdot 4}{7} = \frac{- 12}{7}$ .

Kết quả:

\frac{- 12}{7}

Mẹo: Rút gọn trước khi nhân sẽ nhẹ đầu hơn: với

\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{10}

, chia

2

với

10

và

3

với

9

ngay.

Tính chất của phép nhân

Tương tự phép nhân số nguyên, phép nhân phân số có tính chất giao hoán, kết hợp và phân phối của phép nhân đối với phép cộng; nhân với $1$ thì không đổi: $\frac{a}{b} \cdot 1 = \frac{a}{b}$ .

Ví dụ. Tính hợp lí

\frac{- 5}{8} \cdot \frac{9}{4} \cdot \frac{- 8}{5}

Giao hoán, kết hợp: $(\frac{- 5}{8} \cdot \frac{- 8}{5}) \cdot \frac{9}{4}$ .
$= 1 \cdot \frac{9}{4} = \frac{9}{4}$ .

Kết quả:

\frac{9}{4}

Ví dụ. Tính

\frac{3}{5} \cdot \frac{7}{4} + \frac{3}{5} \cdot \frac{- 3}{4}

Tính chất phân phối: $\frac{3}{5} \cdot (\frac{7}{4} + \frac{- 3}{4}) = \frac{3}{5} \cdot 1$ .
$= \frac{3}{5}$ .

Kết quả:

\frac{3}{5}

Phân số nghịch đảo và phép chia phân số

Hai phân số có tích bằng $1$ thì mỗi phân số gọi là phân số nghịch đảo của phân số kia. Phân số nghịch đảo của $\frac{c}{d}$ là $\frac{d}{c}$ ( $c, d \neq = 0$ ). Chẳng hạn phân số nghịch đảo của $4$ là $\frac{1}{4}$ ; của $- 2$ là $\frac{1}{- 2}$ hay $\frac{- 1}{2}$ .

Quy tắc chia: muốn chia một phân số cho một phân số khác $0$ , ta nhân số bị chia với phân số nghịch đảo của số chia.

\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c} \quad (c \neq 0)

Ví dụ. Tính

\frac{3}{4} : \frac{6}{7}

Phân số nghịch đảo của $\frac{6}{7}$ là $\frac{7}{6}$ .
$\frac{3}{4} \cdot \frac{7}{6} = \frac{21}{24} = \frac{7}{8}$ .

Kết quả:

\frac{7}{8}

Ví dụ. Tính

\frac{2}{3} : 2

$\frac{2}{3} : 2 = \frac{2}{3} : \frac{2}{1} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$ .

Kết quả:

\frac{1}{3}

Chú ý: Số

0

không có phân số nghịch đảo, và ta không chia cho

0

Mở rộng

Tại sao chia cho phân số lại thành nhân? Hình dung em có $3$ chiếc bánh và cắt mỗi chiếc làm đôi để mỗi phần là $\frac{1}{2}$ chiếc. Số phần là $3 : \frac{1}{2} = 3 \cdot 2 = 6$ phần. Chia cho $\frac{1}{2}$ giống như hỏi "có bao nhiêu nửa chiếc?", nên cho kết quả gấp đôi.

Nhân với một phân số dương nhỏ hơn $1$ thì kết quả nhỏ đi: $12 \cdot \frac{1}{3} = 4$ . Còn chia cho một phân số dương nhỏ hơn $1$ thì kết quả lớn lên: $12 : \frac{1}{3} = 36$ .