Bài 25. Phép cộng và phép trừ phân số

Cộng, trừ phân số khác mẫu, số đối của phân số và các tính chất của phép cộng.

Phép cộng hai phân số

Các quy tắc cộng phân số đã học vẫn đúng khi tử và mẫu là số nguyên. Cùng mẫu: cộng các tử và giữ nguyên mẫu. Không cùng mẫu: viết chúng dưới dạng hai phân số cùng mẫu rồi cộng các tử và giữ nguyên mẫu chung.

\frac{a}{m} + \frac{b}{m} = \frac{a + b}{m}

Ví dụ. Tính

\frac{1}{6} + \frac{3}{4}

BCNN $(6, 4) = 12$ .
$\frac{1}{6} = \frac{2}{12}$ và $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$ .
$\frac{2}{12} + \frac{9}{12} = \frac{11}{12}$ .

Kết quả:

\frac{11}{12}

Ví dụ. Tính

\frac{- 3}{4} + \frac{5}{6}

Quy đồng mẫu $12$ : $\frac{- 9}{12} + \frac{10}{12}$ .
$\frac{( - 9 ) + 10}{12} = \frac{1}{12}$ .

Kết quả:

\frac{1}{12}

Số đối của một phân số

Hai số gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng $0$ . Kí hiệu số đối của phân số $\frac{a}{b}$ là $- \frac{a}{b}$ , ta có $\frac{a}{b} + (- \frac{a}{b}) = 0$ .

-\frac{a}{b} = \frac{-a}{b} = \frac{a}{-b}

Chẳng hạn $\frac{- 1}{2}$ và $\frac{1}{- 2}$ đều là số đối của $\frac{1}{2}$ . Số đối của $0$ là $0$ .

Tính chất của phép cộng phân số

Tương tự phép cộng số nguyên, phép cộng phân số có tính chất giao hoán và kết hợp; cộng với $0$ thì không đổi: $\frac{a}{b} + 0 = \frac{a}{b}$ .

Ví dụ. Tính một cách hợp lí

A = \frac{- 4}{9} + \frac{3}{8} + \frac{4}{9} + \frac{5}{8}

Giao hoán, kết hợp: $A = (\frac{- 4}{9} + \frac{4}{9}) + (\frac{3}{8} + \frac{5}{8})$ .
$= 0 + 1 = 1$ .

Kết quả:

1

Phép trừ hai phân số

Cùng mẫu: lấy tử của số bị trừ trừ đi tử của số trừ và giữ nguyên mẫu: $\frac{a}{m} - \frac{b}{m} = \frac{a - b}{m}$ .
Không cùng mẫu: quy đồng mẫu hai phân số rồi trừ hai phân số đó.

Nhận xét. Muốn trừ một phân số cho một phân số, ta có thể cộng số bị trừ với số đối của số trừ: $\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a}{b} + (- \frac{c}{d})$ .

Ví dụ. Tính

\frac{3}{5} - \frac{7}{10}

Quy đồng mẫu $10$ : $\frac{3}{5} = \frac{6}{10}$ .
$\frac{6}{10} - \frac{7}{10} = \frac{6 - 7}{10} = \frac{- 1}{10}$ .

Kết quả:

\frac{- 1}{10}

Ví dụ. Tính

\frac{5}{8} - \frac{- 1}{4}

$\frac{5}{8} - \frac{- 1}{4} = \frac{5}{8} + \frac{1}{4}$ (cộng với số đối).
$= \frac{5}{8} + \frac{2}{8} = \frac{7}{8}$ .

Kết quả:

\frac{7}{8}

Mẹo: Sau khi cộng hoặc trừ, nhớ rút gọn kết quả đến phân số tối giản.

Mở rộng

Có một mẹo hay để cộng nhiều phân số đặc biệt. Vì $\frac{1}{n \cdot ( n + 1 )} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$ , nên:

\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}

Các số ở giữa triệt tiêu nhau, chỉ còn số đầu và số cuối

Cách làm này giúp tính tổng của hàng chục phân số mà không cần quy đồng từng cặp.