Bài 24. So sánh phân số. Hỗn số dương

Quy đồng mẫu nhiều phân số, so sánh hai phân số, nhận biết hỗn số dương và đổi qua lại giữa hỗn số với phân số.

Quy đồng mẫu nhiều phân số

Để quy đồng mẫu hai hay nhiều phân số có mẫu dương, ta làm như sau:

Tìm một bội chung (thường là BCNN) của các mẫu để làm mẫu chung.
Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu bằng cách chia mẫu chung cho từng mẫu.
Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng.

Ví dụ. Quy đồng mẫu hai phân số

\frac{7}{12}

và

\frac{5}{- 18}

Đưa về mẫu dương: $\frac{5}{- 18} = \frac{- 5}{18}$ .
Mẫu chung: BCNN $(12, 18) = 36$ .
Thừa số phụ: $36 : 12 = 3$ và $36 : 18 = 2$ .
$\frac{7}{12} = \frac{7 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \frac{21}{36}$ và $\frac{- 5}{18} = \frac{( - 5 ) \cdot 2}{18 \cdot 2} = \frac{- 10}{36}$ .

Kết quả:

\frac{21}{36}

và

\frac{- 10}{36}

Chú ý: Phân số có mẫu âm thì phải viết lại thành phân số bằng nó có mẫu dương trước khi quy đồng; mẫu chung cũng phải là số dương.

So sánh hai phân số

Cùng mẫu: trong hai phân số có cùng một mẫu dương, phân số nào có tử lớn hơn thì phân số đó lớn hơn. Không cùng mẫu: ta viết chúng dưới dạng hai phân số có cùng một mẫu dương (quy đồng mẫu) rồi so sánh các tử với nhau.

Phân số dương lớn hơn $0$ , phân số âm nhỏ hơn $0$ .
Mẫu âm: nhân cả tử và mẫu với $- 1$ trước khi so sánh.

Ví dụ. So sánh

\frac{3}{4}

và

\frac{5}{6}

BCNN $(4, 6) = 12$ .
$\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$ và $\frac{5}{6} = \frac{10}{12}$ .
Vì $9 < 10$ nên $\frac{9}{12} < \frac{10}{12}$ .

Kết quả:

\frac{3}{4} < \frac{5}{6}

Ví dụ. So sánh

\frac{- 2}{3}

và

\frac{- 3}{5}

BCNN $(3, 5) = 15$ .
$\frac{- 2}{3} = \frac{- 10}{15}$ và $\frac{- 3}{5} = \frac{- 9}{15}$ .
Vì $- 10 < - 9$ nên $\frac{- 10}{15} < \frac{- 9}{15}$ .

Kết quả:

\frac{- 2}{3} < \frac{- 3}{5}

Hỗn số dương

Phân số $\frac{3}{2}$ viết được thành tổng $1 + \frac{1}{2}$ và viết gọn là $1 \frac{1}{2}$ . Số $1 \frac{1}{2}$ gọi là một hỗn số (dương), trong đó $1$ là phần nguyên, $\frac{1}{2}$ là phần phân số. Hỗn số $1 \frac{1}{2}$ đọc là "một một phần hai". Phần phân số của hỗn số luôn nhỏ hơn $1$ , nên $2 \frac{5}{4}$ không phải là hỗn số.

Viết phân số lớn hơn $1$ thành hỗn số: chia tử cho mẫu; thương là phần nguyên, số dư là tử của phần phân số, mẫu giữ nguyên. Ngược lại, viết hỗn số thành phân số theo công thức:

c\frac{a}{b} = \frac{c \cdot b + a}{b}

Nhân phần nguyên với mẫu rồi cộng tử

Ví dụ. Đổi

2 \frac{3}{5}

ra phân số và đổi

\frac{17}{5}

ra hỗn số.

$2 \frac{3}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{13}{5}$ .
Chia $17$ cho $5$ được thương $3$ , dư $2$ . Phần nguyên là $3$ , phần phân số là $\frac{2}{5}$ .

Kết quả:

2 \frac{3}{5} = \frac{13}{5}

và

\frac{17}{5} = 3 \frac{2}{5}

Mở rộng

Với hai phân số dương, ta còn có mẹo "nhân chéo": nếu mẫu đều dương thì $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$ khi $a \cdot d < b \cdot c$ . Ví dụ $\frac{3}{5}$ và $\frac{4}{7}$ : $3 \cdot 7 = 21$ và $5 \cdot 4 = 20$ , mà $21 > 20$ nên $\frac{3}{5} > \frac{4}{7}$ .

Một mẹo nữa là so sánh với phân số "mốc" như $\frac{1}{2}$ hoặc $1$ . Chẳng hạn $\frac{5}{9}$ lớn hơn $\frac{1}{2}$ còn $\frac{4}{9}$ nhỏ hơn $\frac{1}{2}$ , nên $\frac{4}{9} < \frac{5}{9}$ ngay mà không phải tính gì.

Mẹo: Khi so sánh nhiều phân số, quy đồng tất cả về cùng một mẫu rồi xếp theo tử số.