Bài 23. Mở rộng khái niệm phân số. Phân số bằng nhau

Mở rộng khái niệm phân số cho tử và mẫu là số nguyên, hiểu hai phân số bằng nhau, tính chất cơ bản và rút gọn phân số.

Phân số với tử và mẫu là số nguyên

Ở tiểu học, em chỉ gặp phân số có tử và mẫu là số tự nhiên. Bây giờ ta mở rộng: với $a, b \in Z$ , $b \neq = 0$ , ta gọi $\frac{a}{b}$ là một phân số, trong đó $a$ là tử số (tử) và $b$ là mẫu số (mẫu). Chẳng hạn $\frac{- 3}{4}$ ; $\frac{5}{- 9}$ ; $\frac{8}{3}$ là các phân số. Phân số $\frac{5}{- 8}$ đọc là "năm phần âm tám".

Phép chia $(- 2) : 5$ cho kết quả là phân số $\frac{- 2}{5}$ (đọc là "âm hai phần năm"). Tổng quát, phép chia số nguyên $a$ cho số nguyên $b$ ( $b \neq = 0$ ) được viết thành phân số $\frac{a}{b}$ . Mỗi số nguyên $a$ viết được dưới dạng phân số $\frac{a}{1}$ , nên số nguyên cũng là phân số.

Ví dụ. Viết kết quả phép chia

(- 3) : 5

và số

- 4

dưới dạng phân số.

Phép chia $(- 3) : 5$ có tử là $- 3$ , mẫu là $5$ , nên bằng $\frac{- 3}{5}$ .
Số nguyên $- 4$ viết là $\frac{- 4}{1}$ .

Kết quả:

\frac{- 3}{5}

và

\frac{- 4}{1}

Chú ý: Mẫu số không bao giờ bằng

0

, và tử, mẫu đều phải là số nguyên. Vì vậy

\frac{5}{0}

và

\frac{2 , 5}{- 4}

không phải là phân số.

Hai phân số bằng nhau

Hai phân số bằng nhau có cùng giá trị. Quy tắc bằng nhau: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ nếu $a \cdot d = b \cdot c$ .

\frac{3}{4}

của thanh

\frac{6}{8}

của thanh: tô cùng một phần như thanh trên, nên

\frac{3}{4} = \frac{6}{8}

Ví dụ. Hai phân số

\frac{3}{4}

và

\frac{9}{12}

có bằng nhau không? Còn

\frac{- 2}{5}

và

\frac{6}{- 15}

Với $\frac{3}{4}$ và $\frac{9}{12}$ : $3 \cdot 12 = 36$ và $4 \cdot 9 = 36$ , hai tích bằng nhau.
Với $\frac{- 2}{5}$ và $\frac{6}{- 15}$ : $(- 2) \cdot (- 15) = 30$ và $5 \cdot 6 = 30$ , hai tích bằng nhau.

Kết quả: Cả hai cặp đều bằng nhau.

Tính chất cơ bản và rút gọn

Tính chất cơ bản của phân số. Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số nguyên khác $0$ thì được một phân số bằng phân số đã cho. Nếu chia cả tử và mẫu của một phân số cho cùng một ước chung của chúng thì cũng được một phân số bằng phân số đã cho.

\frac{a}{b} = \frac{a \cdot m}{b \cdot m} \quad (m \in \mathbb{Z},\ m \neq 0) \qquad \frac{a}{b} = \frac{a : n}{b : n} \quad (n \text{ là ước chung của } a \text{ và } b)

Người ta thường dùng tính chất thứ hai để rút gọn phân số. Phân số mà tử và mẫu không có ước chung nào khác $1$ và $- 1$ thì không rút gọn được nữa; đó là phân số tối giản.

Ví dụ. Rút gọn

\frac{- 18}{24}

đến tối giản.

$18$ và $24$ cùng chia hết cho $6$ .
Chia cả tử và mẫu cho $6$ : $\frac{- 18 : 6}{24 : 6} = \frac{- 3}{4}$ .
$3$ và $4$ chỉ có ước chung là $1$ và $- 1$ nên đã tối giản.

Kết quả:

\frac{- 3}{4}

Mẹo: Chú ý: mọi phân số đều viết được dưới dạng phân số có mẫu dương. Khi mẫu âm, nhân cả tử và mẫu với

- 1

\frac{3}{- 7} = \frac{3 \cdot ( - 1 )}{( - 7 ) \cdot ( - 1 )} = \frac{- 3}{7}

Mở rộng

Người Ai Cập cổ đại (khoảng 3 600 năm trước, theo cuộn giấy cói Rhind) chủ yếu dùng các phân số có tử là $1$ như $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}$ . Khi cần phân số khác, họ viết thành tổng của các phân số kiểu đó, chẳng hạn $\frac{2}{3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6}$ .

Trong bếp, mẹ đong $\frac{1}{2}$ chén cũng chính là $\frac{2}{4}$ chén hay $\frac{4}{8}$ chén: đổi sang phân số bằng nhau giúp ta dùng cái muỗng nhỏ hay lớn tùy ý mà lượng vẫn như nhau.

Mẹo: Muốn kiểm tra nhanh hai phân số có bằng nhau không, cứ "nhân chéo": hai tích phải bằng nhau.

Muốn rút gọn một lần đến phân số tối giản, ta chia cả tử và mẫu cho ƯCLN của giá trị tuyệt đối của chúng. Chẳng hạn ƯCLN $(18, 24) = 6$ nên rút gọn $\frac{- 18}{24}$ ngay một bước.