Bài 17. Phép chia hết. Ước và bội của một số nguyên

Phép chia hết hai số nguyên, khái niệm ước, bội và ước chung của các số nguyên.

Phép chia hết

Cho $a, b \in Z$ với $b \neq = 0$ . Nếu có số nguyên $q$ sao cho $a = b \cdot q$ thì ta có phép chia hết $a : b = q$ (trong đó $a$ là số bị chia, $b$ là số chia và $q$ là thương). Khi đó ta nói $a$ chia hết cho $b$ , kí hiệu $a ⋮ b$ .

Số bị chia	Số chia	Thương
$+$	$+$	$+$
$-$	$-$	$+$
$+$	$-$	$-$
$-$	$+$	$-$

Ví dụ. Tính

(- 42) : 6

và

(- 56) : (- 8)

Khác dấu: $42 : 6 = 7$ , thương âm nên được $- 7$ . Thử: $(- 7) \cdot 6 = - 42$ .
Cùng dấu: $56 : 8 = 7$ , thương dương.

Kết quả:

- 7

và

7

Mẹo: Từ một phép chia hết ta suy ra được ba phép chia khác: từ

12 : 3 = 4

có

12 : (- 3) = - 4

(- 12) : 3 = - 4

(- 12) : (- 3) = 4

Ước và bội

Khi $a ⋮ b$ ( $a, b \in Z$ , $b \neq = 0$ ), ta còn gọi $a$ là một bội của $b$ và $b$ là một ước của $a$ . Ví dụ: $(- 30) ⋮ 5$ nên $5$ là ước của $- 30$ và $- 30$ là bội của $5$ .

Nếu $a$ là một bội của $b$ thì $- a$ cũng là một bội của $b$ .
Nếu $b$ là một ước của $a$ thì $- b$ cũng là một ước của $a$ .
Muốn tìm các ước của $a$ : tìm các ước dương của $a$ rồi thêm các số đối của chúng.

Ví dụ. Tìm các ước của

- 14

Các ước dương của $14$ : $1; 2; 7; 14$ .
Thêm các số đối của chúng.

Kết quả: Các ước của

- 14

là

- 14; - 7; - 2; - 1; 1; 2; 7; 14

Ví dụ. Tìm các bội của

5

lớn hơn

- 12

và nhỏ hơn

12

Lần lượt nhân $5$ với $0; \pm 1; \pm 2; \dots$ ta được các bội của $5$ : $\dots; - 10; - 5; 0; 5; 10; 15; \dots$
Chọn các số nằm giữa $- 12$ và $12$ .

Kết quả:

- 10; - 5; 0; 5; 10

Ghi nhớ:

0

là bội của mọi số nguyên khác

0

, còn

0

không là ước của số nào.

1

và

- 1

là ước của mọi số nguyên.

Ước chung

Số vừa là ước của $a$ vừa là ước của $b$ gọi là ước chung của $a$ và $b$ . Chẳng hạn $- 2; - 1; 1; 2$ vừa là ước của $4$ vừa là ước của $6$ nên là các ước chung của $4$ và $6$ .

Ví dụ. Tìm các ước chung của

6

và

9

Ước của $6$ : $\pm 1; \pm 2; \pm 3; \pm 6$ .
Ước của $9$ : $\pm 1; \pm 3; \pm 9$ .
Chọn các số có mặt ở cả hai danh sách.

Kết quả:

- 3; - 1; 1; 3

Mở rộng

Nếu hai số cùng chia hết cho một số thì tổng và hiệu của chúng cũng chia hết cho số đó: $a ⋮ c$ và $b ⋮ c$ thì $(a + b) ⋮ c$ và $(a - b) ⋮ c$ . Ví dụ $(- 18) + 30 = 12$ chia hết cho $6$ vì cả $- 18$ và $30$ đều chia hết cho $6$ .

Số $6$ có các ước dương nhỏ hơn nó là $1; 2; 3$ và $1 + 2 + 3 = 6$ . Số như vậy gọi là số hoàn hảo; số tiếp theo là $28$ vì $1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28$ .

Chia kẹo, xếp hàng đều: số cách chia đúng là số ước dương của tổng số phần tử.
Một tuần có $7$ ngày nên các mốc cách nhau một bội của $7$ ngày luôn rơi vào cùng một thứ.