Bài 16. Phép nhân số nguyên

Nhân hai số nguyên cùng dấu, khác dấu và các tính chất của phép nhân số nguyên.

Nhân hai số nguyên khác dấu

Với hai số tự nhiên, $a \cdot b = a + a + \dots + a$ ( $b$ số hạng $a$ , $b \geq 2$ ). Làm tương tự cho hai số nguyên khác dấu, chẳng hạn $(- 4) \cdot 3 = (- 4) + (- 4) + (- 4) = - 12 = - (4 \cdot 3)$ .

Quy tắc nhân hai số nguyên khác dấu: muốn nhân hai số nguyên khác dấu, ta nhân phần số tự nhiên của hai số đó với nhau rồi đặt dấu $-$ trước kết quả nhận được.

m \cdot (-n) = (-m) \cdot n = -(m \cdot n) \quad (m, n \in \mathbb{N}^*)

Tích của hai số nguyên khác dấu luôn là một số nguyên âm

Ví dụ. Tính

(- 6) \cdot 7

và cho biết số tiền đã chi khi bạn Lan ghi vào sổ ba lần khoản

- 20000

đồng.

Khác dấu: $6 \cdot 7 = 42$ , đặt dấu $-$ trước kết quả được $- 42$ .
Ba lần ghi $- 20000$ đồng: $3 \cdot (- 20000) = - (3 \cdot 20000) = - 60000$ .

Kết quả:

- 42

; Lan đã chi

60000

đồng.

Nhân hai số nguyên cùng dấu

Hai số nguyên dương cũng là hai số tự nhiên nên ta đã biết cách nhân. Quan sát: $(- 3) \cdot 7 = - 21$ ; đổi dấu một thừa số được $3 \cdot 7 = 21$ ; đổi dấu thừa số còn lại được $3 \cdot (- 7) = - 21$ ; đổi dấu tiếp thì $(- 3) \cdot (- 7) = 21$ . Mỗi lần đổi dấu một thừa số thì dấu của tích đổi theo.

Quy tắc nhân hai số nguyên âm: muốn nhân hai số nguyên âm, ta nhân phần số tự nhiên của hai số đó với nhau.

(-m) \cdot (-n) = m \cdot n \quad (m, n \in \mathbb{N}^*)

Tích của hai số nguyên cùng dấu luôn là một số nguyên dương

Thừa số	Thừa số	Tích
$+$	$+$	$+$
$-$	$-$	$+$
$+$	$-$	$-$
$-$	$+$	$-$

Ví dụ. Tính

(- 8) \cdot (- 5)

Cùng dấu: nhân phần số tự nhiên $8 \cdot 5 = 40$ .
Tích của hai số âm là số dương.

Kết quả:

40

Ghi nhớ: Tích của một số nguyên với

0

luôn bằng

0

a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0

. Âm nhân âm ra dương; âm nhân dương ra âm.

Tính chất của phép nhân

Giao hoán: $a \cdot b = b \cdot a$ .
Kết hợp: $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$ .
Nhân với $1$ : $a \cdot 1 = 1 \cdot a = a$ .
Phân phối của phép nhân đối với phép cộng: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ . Phép nhân cũng phân phối đối với phép trừ: $a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c$ .

Ví dụ. Tính nhanh

(- 20) \cdot 43 \cdot (- 5)

Đổi chỗ: $[(- 20) \cdot (- 5)] \cdot 43$ .
$(- 20) \cdot (- 5) = 100$ .
$100 \cdot 43 = 4300$ .

Kết quả:

4300

Ví dụ. Tính nhanh

(- 7) \cdot 35 + (- 7) \cdot 65

Đặt thừa số chung: $(- 7) \cdot (35 + 65)$ .
$= (- 7) \cdot 100 = - 700$ .

Kết quả:

- 700

Tích của nhiều số nguyên cũng được hiểu tương tự như tích của nhiều số tự nhiên.

Mở rộng

Vì sao âm nhân âm lại dương? Hãy nhìn quy luật sau: khi thừa số thứ hai giảm $1$ thì tích tăng $3$ .

Phép nhân	Kết quả
$(- 3) \cdot 2$	$- 6$
$(- 3) \cdot 1$	$- 3$
$(- 3) \cdot 0$	$0$
$(- 3) \cdot (- 1)$	$3$
$(- 3) \cdot (- 2)$	$6$

Mẹo: Tích nhiều thừa số khác

0

: nếu có số thừa số âm chẵn thì tích dương, nếu lẻ thì tích âm.

Ứng dụng: nhiệt độ giảm đều mỗi giờ, hay trò chơi cộng $5$ điểm khi thắng và trừ $3$ điểm khi thua đều dùng phép nhân với số nguyên âm.