Bài 13. Tập hợp các số nguyên

Làm quen với số nguyên âm, tập hợp số nguyên, trục số và cách so sánh hai số nguyên.

Làm quen với số nguyên âm

Ngoài các số tự nhiên, ta còn gặp những tình huống cần số nhỏ hơn 0: nhiệt độ dưới 0 °C, số tiền nợ, độ sâu dưới mực nước biển. Để ghi chúng, ta dùng số nguyên âm: $- 1; - 2; - 3; \dots$ (số $- 3$ đọc là "âm 3"). Các số tự nhiên khác $0$ là $1; 2; 3; \dots$ còn được gọi là số nguyên dương.

Các số nguyên âm, số $0$ và các số nguyên dương hợp thành tập hợp các số nguyên, kí hiệu $Z$ .

\mathbb{Z} = \{\ldots;\ -3;\ -2;\ -1;\ 0;\ 1;\ 2;\ 3;\ \ldots\}

Tập hợp các số nguyên

Ghi nhớ: Số

0

không phải số nguyên dương, cũng không phải số nguyên âm. Số nguyên dương có thể viết thêm dấu cộng:

+ 6

chính là

6

Số dương và số âm dùng để biểu thị hai đại lượng đối lập nhau:

Số dương biểu thị	Số âm biểu thị
Nhiệt độ trên $0$ °C	Nhiệt độ dưới $0$ °C
Độ cao trên mực nước biển	Độ cao dưới mực nước biển
Số tiền hiện có	Số tiền còn nợ
Tiền lãi	Tiền lỗ
Độ viễn thị (kính viễn thị, ví dụ $+ 1$ đi-ốp)	Độ cận thị (kính cận thị, ví dụ $- 1$ đi-ốp)

Ví dụ: độ cao của mực nước biển được quy ước là $0$ m. Rãnh Mariana có độ cao $- 10971$ m, nghĩa là rãnh này sâu $10971$ m so với mực nước biển.

Ví dụ. An có 20 nghìn đồng trong ví, còn Minh nợ bạn 15 nghìn đồng. Dùng số nguyên để ghi hai số tiền này.

Tiền có trong ví là số dương: $20$ .
Tiền nợ là số âm: $- 15$ .

Kết quả: An:

20

nghìn đồng; Minh:

- 15

nghìn đồng.

Trục số

Ta biểu diễn các số $0; 1; 2; 3; \dots$ và các số nguyên âm $- 1; - 2; - 3; \dots$ trên một đường thẳng có gốc $O$ ứng với số $0$ , các điểm cách đều nhau. Ta được một trục số gốc $O$ . Chiều từ trái sang phải là chiều dương, chiều ngược lại là chiều âm. Trục số cũng có thể vẽ thẳng đứng, khi đó chiều từ dưới lên trên là chiều dương.

Hai điểm

- 3

và

3

nằm hai phía của gốc

O

, cùng cách

O

ba đơn vị

Điểm biểu diễn số nguyên $a$ gọi là điểm $a$ . Điểm $- 4$ cách gốc $O$ bốn đơn vị về phía chiều âm.

Ví dụ. Xuất phát từ gốc

O

, đi

6

đơn vị theo chiều âm thì đến điểm nào?

Chiều âm là chiều sang trái.
Đi $6$ đơn vị sang trái từ $0$ ta đến số $- 6$ .

Kết quả: Điểm

- 6

So sánh hai số nguyên

Cho hai số nguyên $a$ và $b$ . Trên trục số, nếu điểm $a$ nằm trước điểm $b$ thì số $a$ nhỏ hơn số $b$ , kí hiệu $a < b$ . Kí hiệu $a \leq b$ có nghĩa là " $a < b$ hoặc $a = b$ ".

Mọi số nguyên âm đều nhỏ hơn $0$ , do đó nhỏ hơn mọi số nguyên dương.
Nếu $a, b$ là hai số nguyên dương và $a > b$ thì $- a < - b$ . Ví dụ $8 > 3$ nên $- 8 < - 3$ .

Ví dụ. Sắp xếp các số

5; - 2; 0; - 7; 3

theo thứ tự tăng dần.

Số âm: $- 7$ và $- 2$ . Vì $7 > 2$ nên $- 7 < - 2$ .
Sau các số âm là $0$ , rồi đến các số dương $3 < 5$ .

Kết quả:

- 7 < - 2 < 0 < 3 < 5

Ví dụ. Liệt kê các phần tử của tập hợp

A = {x \in Z ∣ - 3 < x \leq 2}

$x$ lớn hơn $- 3$ nên không lấy $- 3$ .
$x \leq 2$ nên lấy cả số $2$ .

Kết quả:

A = {- 2; - 1; 0; 1; 2}

Chú ý: Đừng nhầm:

- 9

trông "to" vì có số

9

nhưng lại nhỏ hơn

- 2

. Hãy nhìn vị trí trên trục số.

Mở rộng

Số âm được cho là lần đầu xuất hiện trong khoảng từ năm 202 trước Công nguyên đến năm 220. Người ta cũng coi số âm là kết quả của việc lấy số nhỏ trừ đi số lớn: $3 - 5 = - 2$ . Ngày nay, bạn gặp số âm ở khắp nơi.

Thang máy ở nhiều tòa nhà ghi tầng hầm là $- 1; - 2$ (thường ghi B1, B2).
Trên bản đồ, độ cao lấy mực nước biển làm mốc $0$ : đỉnh Phan-xi-păng cao khoảng $3147, 3$ m (theo đo đạc hiện đại; nhiều tài liệu cũ ghi $3143$ m) nên là số dương, còn đáy biển là số âm.
Sổ ghi thu chi của gia đình thường ghi khoản chi bằng số âm, khoản thu bằng số dương.