Chương II. Tính chia hết trong tập hợp các số tự nhiên

Bài 12. Bội chung. Bội chung nhỏ nhất

Tìm bội chung, bội chung nhỏ nhất và dùng chúng để quy đồng mẫu, cộng trừ phân số và giải bài toán theo chu kì.

Bội chung

Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó. Kí hiệu: $BC (a, b)$ là tập hợp các bội chung của $a$ và $b$ ; $BCNN (a, b)$ là một số, bội chung nhỏ nhất của $a$ và $b$ . Ta chỉ xét bội chung của các số khác 0.

Ghi nhớ:

x \in BC (a, b)

nếu

x ⋮ a

và

x ⋮ b

;

x \in BC (a, b, c)

nếu

x ⋮ a

x ⋮ b

và

x ⋮ c

Ví dụ. Tìm các bội chung nhỏ hơn 30 của 4 và 6.

$B (4) = {0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; \dots}$ .
$B (6) = {0; 6; 12; 18; 24; 30; \dots}$ .
Lấy các số có trong cả hai tập hợp và nhỏ hơn 30.

Kết quả: Các bội chung nhỏ hơn 30 là

0; 12; 24

Bội chung nhỏ nhất

Bội chung nhỏ nhất (BCNN) của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của các số đó. Mọi bội chung đều là bội của BCNN.

Cách tìm BCNN: phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố; chọn các thừa số nguyên tố chung và riêng; lấy mỗi thừa số với số mũ lớn nhất; nhân các luỹ thừa đó lại.

Ví dụ. Tìm

BCNN (12, 18)

$12 = 2^{2} \cdot 3$ và $18 = 2 \cdot 3^{2}$ .
Thừa số 2 có số mũ lớn nhất là 2; thừa số 3 có số mũ lớn nhất là 2.
Nhân lại: $2^{2} \cdot 3^{2} = 4 \cdot 9 = 36$ .

Kết quả:

BCNN (12, 18) = 36

Mẹo: Trường hợp đặc biệt: nếu số lớn nhất là bội của các số còn lại thì BCNN chính là số lớn nhất ấy. Nếu

a ⋮ b

thì

BCNN (a, b) = a

. Mọi số tự nhiên đều là bội của 1 nên

BCNN (a, 1) = a

và

BCNN (a, b, 1) = BCNN (a, b)

Ví dụ. Biết

BCNN (6, 8) = 24

. Tìm các bội chung nhỏ hơn 100 của 6 và 8.

Mọi bội chung đều là bội của BCNN, nên ta tìm các bội của 24.
$24 \cdot 0 = 0; 24 \cdot 1 = 24; 24 \cdot 2 = 48; 24 \cdot 3 = 72; 24 \cdot 4 = 96$ .

Kết quả: Các bội chung nhỏ hơn 100 là

0; 24; 48; 72; 96

Ví dụ. Xe buýt A cứ 12 phút có một chuyến, xe buýt B cứ 15 phút có một chuyến. Hai xe cùng xuất phát lúc 6 giờ. Sau ít nhất bao lâu thì lại cùng xuất phát?

Thời gian phải là bội chung của 12 và 15; ít nhất nên lấy BCNN.
$12 = 2^{2} \cdot 3$ , $15 = 3 \cdot 5$ nên $BCNN (12, 15) = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5 = 60$ .

Kết quả: Sau 60 phút, tức lúc 7 giờ.

Quy đồng mẫu các phân số

Để quy đồng mẫu các phân số, ta tìm một mẫu chung. Thông thường ta chọn mẫu chung là BCNN của các mẫu, rồi nhân cả tử và mẫu mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng. Cách này cũng dùng để cộng, trừ các phân số khác mẫu.

Ví dụ. Quy đồng mẫu hai phân số

\frac{5}{12}

và

\frac{7}{18}

$BCNN (12, 18) = 36$ .
Thừa số phụ: $36 : 12 = 3$ và $36 : 18 = 2$ .
$\frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \frac{15}{36}$ và $\frac{7}{18} = \frac{7 \cdot 2}{18 \cdot 2} = \frac{14}{36}$ .

Kết quả: Hai phân số là

\frac{15}{36}

và

\frac{14}{36}

Ví dụ. Tính

\frac{7}{10} - \frac{1}{4}

$BCNN (10, 4) = 20$ nên lấy mẫu chung là 20.
$\frac{7}{10} = \frac{14}{20}$ và $\frac{1}{4} = \frac{5}{20}$ .
$\frac{14}{20} - \frac{5}{20} = \frac{9}{20}$ .

Kết quả:

\frac{7}{10} - \frac{1}{4} = \frac{9}{20}

Ghi nhớ: Mẫu chung có thể là một bội chung khác 0 bất kì của các mẫu, nhưng ta thường lấy BCNN cho số nhỏ gọn.

Mở rộng

Người Việt gọi tên năm âm lịch theo can chi: ghép 10 can (Giáp, Ất, Bính, Đinh, Mậu, Kỉ, Canh, Tân, Nhâm, Quý) với 12 chi (Tí, Sửu, Dần, Mão, Thìn, Tị, Ngọ, Mùi, Thân, Dậu, Tuất, Hợi) theo thứ tự. Cứ 10 năm tên can lặp lại, cứ 12 năm tên chi lặp lại, nên sau $BCNN (10, 12) = 60$ năm thì tên năm lặp lại. Chẳng hạn năm Giáp Tí lại xuất hiện sau 60 năm.

Cứ thấy hai việc lặp theo chu kì khác nhau và hỏi "bao lâu thì cùng xảy ra một lúc", hãy nghĩ đến BCNN. Còn nếu hỏi "chia đều nhiều nhất", hãy nghĩ đến ƯCLN.