Chương II. Tính chia hết trong tập hợp các số tự nhiên

Bài 11. Ước chung. Ước chung lớn nhất

Tìm ước chung, ước chung lớn nhất của hai hay ba số, rút gọn phân số về tối giản và giải bài toán chia đều.

Ước chung và ước chung lớn nhất

Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó. Ước chung lớn nhất (ƯCLN) của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó.

Kí hiệu: $Ư C (a, b)$ là tập hợp các ước chung của $a$ và $b$ ; $Ư CLN (a, b)$ là một số, ước chung lớn nhất của $a$ và $b$ . Ta chỉ xét ước chung của các số khác 0.

Ví dụ. Tìm

Ư C (12, 18)

$Ư (12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}$ .
$Ư (18) = {1; 2; 3; 6; 9; 18}$ .
Lấy các số có mặt trong cả hai tập hợp.

Kết quả:

Ư C (12, 18) = {1; 2; 3; 6}

Ghi nhớ: Số 1 luôn là ước chung của mọi số tự nhiên. Từ ví dụ trên, vì 6 là số lớn nhất trong

Ư C (12, 18)

nên

Ư CLN (12, 18) = 6

Ghi nhớ: Với ba số:

x \in Ư C (a, b, c)

nếu

a ⋮ x

b ⋮ x

và

c ⋮ x

Cách tìm ƯCLN

Cách tìm ƯCLN: phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố; chọn các thừa số nguyên tố chung; lấy mỗi thừa số với số mũ nhỏ nhất; nhân các luỹ thừa đó lại.

Ví dụ. Tìm

Ư CLN (36, 60)

$36 = 2^{2} \cdot 3^{2}$ và $60 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5$ .
Thừa số chung: 2 (số mũ nhỏ nhất là 2) và 3 (số mũ nhỏ nhất là 1).
Nhân lại: $2^{2} \cdot 3 = 12$ .

Kết quả:

Ư CLN (36, 60) = 12

Ví dụ. Có 24 bút đỏ và 36 bút xanh. Chia vào các túi giống nhau, mỗi túi có số bút đỏ như nhau và số bút xanh như nhau. Chia được nhiều nhất bao nhiêu túi?

Số túi phải là ước chung của 24 và 36; muốn nhiều nhất thì lấy ƯCLN.
$24 = 2^{3} \cdot 3$ , $36 = 2^{2} \cdot 3^{2}$ nên $Ư CLN (24, 36) = 2^{2} \cdot 3 = 12$ .

Kết quả: Nhiều nhất 12 túi, mỗi túi 2 bút đỏ và 3 bút xanh.

Ví dụ. Biết

Ư CLN (30, 45) = 15

. Tìm

Ư C (30, 45)

Mọi ước chung đều là ước của ƯCLN, nên chỉ cần tìm các ước của 15.
$Ư (15) = {1; 3; 5; 15}$ .

Kết quả:

Ư C (30, 45) = {1; 3; 5; 15}

Ví dụ. Tìm

Ư CLN (48, 72, 120)

$48 = 2^{4} \cdot 3$ , $72 = 2^{3} \cdot 3^{2}$ , $120 = 2^{3} \cdot 3 \cdot 5$ .
Thừa số nguyên tố chung: 2 (số mũ nhỏ nhất là 3) và 3 (số mũ nhỏ nhất là 1).

Kết quả:

Ư CLN (48, 72, 120) = 2^{3} \cdot 3 = 24

Mẹo: Trường hợp đặc biệt: nếu số nhỏ nhất là ước của các số còn lại thì ƯCLN chính là số nhỏ nhất ấy. Nếu

a ⋮ b

thì

Ư CLN (a, b) = b

. Số 1 chỉ có một ước là 1 nên với mọi số tự nhiên

a

b

ta có

Ư CLN (a, 1) = 1

và

Ư CLN (a, b, 1) = 1

Rút gọn về phân số tối giản

Ta rút gọn phân số bằng cách chia cả tử và mẫu cho một ước chung khác 1. Phân số $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản nếu $Ư CLN (a, b) = 1$ , tức là tử và mẫu không có ước chung nào khác 1. Khi đó $a$ và $b$ gọi là hai số nguyên tố cùng nhau.

Ví dụ. Rút gọn

\frac{42}{70}

về phân số tối giản.

$42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$ và $70 = 2 \cdot 5 \cdot 7$ nên $Ư CLN (42, 70) = 2 \cdot 7 = 14$ .
Chia cả tử và mẫu cho 14: $\frac{42 : 14}{70 : 14} = \frac{3}{5}$ .

Kết quả:

\frac{42}{70} = \frac{3}{5}

, và

Ư CLN (3, 5) = 1

nên đây là phân số tối giản.

Mẹo: Muốn đưa một phân số về tối giản ngay một lần, hãy chia cả tử và mẫu cho ƯCLN của chúng.

Mở rộng

Muốn lát nền nhà hình chữ nhật $120$ cm $\times$ $168$ cm bằng gạch hình vuông to nhất mà không phải cắt gạch: cạnh gạch là $Ư CLN (120, 168) = 24$ cm.

Thuật toán Euclid tìm ƯCLN bằng cách chia dư liên tiếp, không cần phân tích. Ví dụ $Ư CLN (48, 18)$ : $48 = 2 \cdot 18 + 12$ ; $18 = 1 \cdot 12 + 6$ ; $12 = 2 \cdot 6 + 0$ . Số dư khác 0 cuối cùng là $6$ nên $Ư CLN (48, 18) = 6$ . Cách này rất tiện với các số lớn.

Mẹo: Muốn xếp hàng dọc đều nhau hoặc chia đều đồ vật cho nhiều nhóm mà không thừa, hãy nghĩ ngay đến ƯCLN.