Chương II. Tính chia hết trong tập hợp các số tự nhiên

Bài 10. Số nguyên tố

Nhận biết số nguyên tố, hợp số và biết phân tích một số ra thừa số nguyên tố.

Số nguyên tố và hợp số

Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có đúng hai ước là 1 và chính nó.
Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn hai ước.

Các số nguyên tố nhỏ hơn 30 là $2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29$ .

Ghi nhớ: Số 0 và số 1 không phải số nguyên tố cũng không phải hợp số. Số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất.

Ví dụ. Số 51 là số nguyên tố hay hợp số?

Tổng chữ số: $5 + 1 = 6$ , chia hết cho 3 nên $51 ⋮ 3$ .
Vậy 51 có ước 3 (ngoài 1 và 51), tức có hơn hai ước.

Kết quả:

51 = 3 \cdot 17

là hợp số.

Mẹo: Muốn khẳng định một số là hợp số, ta thường dùng các dấu hiệu chia hết để tìm ra một ước khác 1 và khác chính nó. Muốn biết số nhỏ hơn 1 000 có nguyên tố hay không, có thể tra bảng số nguyên tố.

Phân tích một số ra thừa số nguyên tố

Mọi hợp số đều phân tích được thành tích các thừa số nguyên tố. Phân tích một số lớn hơn 1 ra thừa số nguyên tố là viết số đó thành tích các thừa số nguyên tố. Có hai cách trình bày: sơ đồ cây và sơ đồ cột.

Sơ đồ cây của 12:

12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^{2} \cdot 3

Ví dụ. Phân tích 84 ra thừa số nguyên tố.

$84$ chia hết cho 2: $84 = 2 \cdot 42$ .
$42$ chia hết cho 2: $42 = 2 \cdot 21$ .
$21 = 3 \cdot 7$ , cả 3 và 7 đều là số nguyên tố.

Kết quả:

84 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 7

Ví dụ. Phân tích 90 ra thừa số nguyên tố theo sơ đồ cột.

Ghi 90 rồi chia cho ước nguyên tố nhỏ nhất của nó: $90 : 2 = 45$ .
Chia tiếp: $45 : 3 = 15$ ; $15 : 3 = 5$ ; $5 : 5 = 1$ thì dừng.
Các số ở cột bên phải là $2; 3; 3; 5$ .

Kết quả:

90 = 2 \cdot 3^{2} \cdot 5

Ghi nhớ: Nhận xét. Nếu viết các thừa số nguyên tố theo thứ tự từ bé đến lớn và viết các thừa số giống nhau dưới dạng luỹ thừa thì dù phân tích bằng sơ đồ cây hay sơ đồ cột, ta cũng được cùng một kết quả.

Mẹo: Thử chia lần lượt cho 2, 3, 5, 7,... theo thứ tự từ nhỏ đến lớn để khỏi bỏ sót. Kết quả thường viết các thừa số từ bé đến lớn, các thừa số giống nhau gộp thành luỹ thừa.

Ghi nhớ: Mỗi thừa số trong kết quả là một thừa số nguyên tố, cũng là một ước nguyên tố của số đó. Quy ước: dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của một số nguyên tố là chính nó, ví dụ

7 = 7

Mở rộng

Cách tìm số nguyên tố bằng "sàng Eratosthenes" có từ thời Hi Lạp cổ đại: lập bảng các số, gạch bỏ số 1, giữ lại 2 rồi gạch các bội của 2 lớn hơn 2, tiếp theo giữ lại 3 rồi gạch các bội của 3, cứ thế với 5, 7,... Các số không bị gạch là số nguyên tố.

Có vô hạn số nguyên tố (nhà toán học Euclid đã chứng minh). Các cặp như $(11; 13)$ , $(17; 19)$ gọi là số nguyên tố sinh đôi. Ngày nay, số nguyên tố rất lớn được dùng để bảo mật tin nhắn và giao dịch ngân hàng trên mạng.