Chương II. Tính chia hết trong tập hợp các số tự nhiên

Bài 9. Dấu hiệu chia hết

Dùng dấu hiệu chia hết cho 2, 5, 3 và 9 để biết một số có chia hết hay không mà không cần đặt phép chia.

Dấu hiệu chia hết cho 2 và cho 5

Các số có chữ số tận cùng là $0; 2; 4; 6; 8$ thì chia hết cho 2 và chỉ những số đó mới chia hết cho 2.
Các số có chữ số tận cùng là $0$ hoặc $5$ thì chia hết cho 5 và chỉ những số đó mới chia hết cho 5.

Ghi nhớ: Số có chữ số tận cùng là 0 thì chia hết cho cả 2 và 5.

Ví dụ. Thay

*

bằng chữ số thích hợp để số

17 *

chia hết cho cả 2 và 5.

Chia hết cho 2 thì $* \in {0; 2; 4; 6; 8}$ .
Chia hết cho 5 thì $* \in {0; 5}$ .
Chọn chữ số thoả cả hai điều kiện: $* = 0$ .

Kết quả: Số cần tìm là

170

Ví dụ. Không thực hiện phép tính, cho biết

2475 + 3160

có chia hết cho 5 không và

1764 - 1250

có chia hết cho 2 không.

$2475$ tận cùng là 5 và $3160$ tận cùng là 0 nên cả hai chia hết cho 5, do đó tổng chia hết cho 5.
$1764$ và $1250$ có chữ số tận cùng là 4 và 0 nên cùng chia hết cho 2, do đó hiệu chia hết cho 2.

Kết quả: Cả hai đều chia hết.

Dấu hiệu chia hết cho 9 và cho 3

Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và chỉ những số đó mới chia hết cho 9.
Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3 và chỉ những số đó mới chia hết cho 3.

Ghi nhớ: Số chia hết cho 9 thì chắc chắn chia hết cho 3, nhưng số chia hết cho 3 chưa chắc chia hết cho 9 (ví dụ 12).

Ví dụ. Số

2745

có chia hết cho 9 không? Có chia hết cho 3 không?

Tổng các chữ số: $2 + 7 + 4 + 5 = 18$ .
$18 ⋮ 9$ nên $2745 ⋮ 9$ .
Số chia hết cho 9 thì chia hết cho 3.

Kết quả:

2745

chia hết cho cả 9 và 3.

Ví dụ. Tìm các chữ số

*

để số

4 * 5

chia hết cho 3.

Tổng các chữ số là $4 + * + 5 = 9 + *$ .
$9 ⋮ 3$ nên cần $* ⋮ 3$ .
Chữ số chia hết cho 3: $0; 3; 6; 9$ .

Kết quả:

* \in {0; 3; 6; 9}

, tức các số

405; 435; 465; 495

Ví dụ. Một bờ đất dài 135 m, người ta trồng cây thành một hàng, hai cây liền nhau cách đều 9 m và có cây ở hai đầu bờ. Có trồng được không? Cần bao nhiêu cây?

Muốn trồng được thì $135 ⋮ 9$ . Tổng các chữ số là $1 + 3 + 5 = 9$ nên $135 ⋮ 9$ .
Số khoảng cách là $135 : 9 = 15$ , số cây nhiều hơn số khoảng cách 1.

Kết quả: Trồng được, cần 16 cây.

Mở rộng

Vì sao tổng các chữ số lại cho biết chia hết cho 9? Vì $10 = 9 + 1$ , $100 = 99 + 1$ , $1000 = 999 + 1$ ,... Mỗi chữ số "để lại" đúng chính nó khi chia cho 9. Nên một số và tổng các chữ số của nó có cùng số dư khi chia cho 9.

Mẹo kiểm tra phép tính ("thử bằng số 9"): với $23 \cdot 45 = 1035$ , tổng chữ số của 23 là 5, của 45 là 9. Tích $5 \cdot 9 = 45$ có tổng chữ số là $9$ ; còn $1035$ cũng có tổng chữ số là $9$ . Hai kết quả khớp nhau. Nếu lệch thì phép tính chắc chắn sai.

Chú ý: Mẹo này chỉ phát hiện được lỗi, khớp nhau chưa chắc kết quả đúng hoàn toàn.