Chương II. Tính chia hết trong tập hợp các số tự nhiên

Bài 8. Quan hệ chia hết và tính chất

Hiểu khi nào a chia hết cho b, biết ước và bội, và dùng tính chất chia hết của một tổng, một hiệu.

Chia hết, ước và bội

Cho hai số tự nhiên $a$ và $b$ với $b \neq = 0$ . Nếu có số tự nhiên $k$ sao cho $a = k \cdot b$ thì ta nói $a$ chia hết cho $b$ , kí hiệu $a ⋮ b$ . Nếu $a$ không chia hết cho $b$ thì kí hiệu là $a \neq ⋮ b$ . Khi $a ⋮ b$ , ta nói $b$ là ước của $a$ và $a$ là bội của $b$ .

a \vdots b \iff a = k \cdot b

Chia hết nghĩa là phép chia không còn dư; ví dụ

15 ⋮ 3

còn

16 \neq ⋮ 3

Tập hợp các ước của $a$ kí hiệu là $Ư (a)$ .
Tập hợp các bội của $a$ kí hiệu là $B (a)$ , tìm bằng cách nhân $a$ lần lượt với $0; 1; 2; 3; \dots$

Muốn tìm các ước của $a$ (với $a > 1$ ), ta lần lượt chia $a$ cho các số tự nhiên từ 1 đến $a$ ; số nào cho phép chia hết thì là ước của $a$ . Muốn tìm các bội của một số khác 0, ta nhân số đó lần lượt với $0; 1; 2; 3; \dots$

Ví dụ. Tìm

Ư (12)

và các bội của 4 nhỏ hơn 20.

Thử chia 12 cho lần lượt $1; 2; 3; \dots; 12$ , số nào chia hết thì là ước: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Bội của 4: $4 \cdot 0 = 0; 4 \cdot 1 = 4; 4 \cdot 2 = 8; 4 \cdot 3 = 12; 4 \cdot 4 = 16$ . Số $4 \cdot 5 = 20$ không nhỏ hơn 20 nên dừng.

Kết quả:

Ư (12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}

; các bội của 4 nhỏ hơn 20 là

0; 4; 8; 12; 16

Ghi nhớ: Số 0 là bội của mọi số khác 0. Số 1 là ước của mọi số tự nhiên. Số 0 không phải là ước của số nào.

Ví dụ. Một thùng có 8 hộp bút, mỗi hộp 21 chiếc. Số bút trong thùng có chia đều được cho 7 bạn không?

Số bút trong thùng là $8 \cdot 21$ .
Vì $21 ⋮ 7$ nên $(8 \cdot 21) ⋮ 7$ .

Kết quả: Chia đều được cho 7 bạn.

Ghi nhớ: Trong một tích, nếu có một thừa số chia hết cho một số thì cả tích chia hết cho số đó. Chẳng hạn

(7 \cdot 12) ⋮ 4

vì

12 ⋮ 4

Tính chất chia hết của một tổng

Tình huống mở đầu: 50 chiếc bút cùng với một số hộp bút bằng nhau thì có chia đều được cho 4 tổ không? Ta xét xem một tổng khi nào chia hết, khi nào không chia hết cho một số.

Ghi nhớ: Tính chất 1. Nếu tất cả các số hạng của một tổng đều chia hết cho cùng một số thì tổng chia hết cho số đó.

Nếu $a ⋮ m$ và $b ⋮ m$ thì $(a + b) ⋮ m$ .
Nếu $a ⋮ m$ , $b ⋮ m$ và $c ⋮ m$ thì $(a + b + c) ⋮ m$ .

Chú ý. Tính chất 1 cũng đúng với một hiệu, chẳng hạn $42 ⋮ 7$ và $28 ⋮ 7$ nên $(42 - 28) ⋮ 7$ .

Ví dụ. Không thực hiện phép tính, hãy cho biết

12 + 27 + 45

có chia hết cho 3 không. Vì sao?

$12 ⋮ 3$ , $27 ⋮ 3$ và $45 ⋮ 3$ .
Mọi số hạng đều chia hết cho 3.

Kết quả:

(12 + 27 + 45) ⋮ 3

Ghi nhớ: Tính chất 2. Nếu có một số hạng của một tổng không chia hết cho một số đã cho, các số hạng còn lại đều chia hết cho số đó thì tổng không chia hết cho số đã cho.

Nếu $a ⋮ m$ và $b \neq ⋮ m$ thì $(a + b) \neq ⋮ m$ .
Nếu $a ⋮ m$ , $b ⋮ m$ và $c \neq ⋮ m$ thì $(a + b + c) \neq ⋮ m$ .

Chú ý. Tính chất 2 cũng đúng với một hiệu, chẳng hạn $45 ⋮ 5$ và $7 \neq ⋮ 5$ nên $(45 - 7) \neq ⋮ 5$ .

Ví dụ. Không tính tổng, hãy cho biết

48 + 36

chia hết cho 6 không, và

40 + 13

chia hết cho 5 không.

Ở tổng thứ nhất: $48 ⋮ 6$ và $36 ⋮ 6$ nên tổng chia hết cho 6.
Ở tổng thứ hai: $40 ⋮ 5$ nhưng $13$ không chia hết cho 5 nên tổng không chia hết cho 5.

Kết quả:

(48 + 36) ⋮ 6

;

(40 + 13)

không chia hết cho 5.

Ví dụ. Không thực hiện phép tính, hãy cho biết

15 + 40 + 2023

có chia hết cho 5 không.

$15 ⋮ 5$ và $40 ⋮ 5$ nhưng $2023 \neq ⋮ 5$ .
Chỉ có một số hạng không chia hết cho 5.

Kết quả:

(15 + 40 + 2023) \neq ⋮ 5

Mẹo: Muốn xét một tổng có chia hết cho

m

hay không, hãy xem từng số hạng trước, khỏi cần cộng.

Chú ý: Hai số không chia hết cho 4 thì tổng của chúng có thể vẫn chia hết cho 4, chẳng hạn

5 + 7 = 12

. Vậy chỉ khi các số hạng còn lại chia hết cho

m

thì kết luận của Tính chất 2 mới đúng.

Mở rộng

Tuần lễ có 7 ngày nên cứ sau một bội của 7 ngày thì thứ trong tuần lặp lại. Nếu hôm nay là thứ Hai, thì sau 21 ngày (21 chia hết cho 7) vẫn là thứ Hai.

Hai số tự nhiên liên tiếp luôn có một số chẵn, nên tích $n \cdot (n + 1)$ luôn chia hết cho 2. Thử với $n = 7$ : $7 \cdot 8 = 56$ chia hết cho 2.

Mẹo: Muốn chia đều

a

vật thành các nhóm

b

vật mà không thừa, cần

a ⋮ b

. Đó là lí do cô giáo hay chọn sĩ số chia hết cho 2, 3, 4 để chia nhóm.