Bài 6. Luỹ thừa với số mũ tự nhiên

Hiểu luỹ thừa với số mũ tự nhiên, biết nhân và chia hai luỹ thừa cùng cơ số.

Luỹ thừa với số mũ tự nhiên

Luỹ thừa bậc $n$ của số tự nhiên $a$ là tích của $n$ thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng $a$ :

a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot ... \cdot a}_{n}\quad (n \in \mathbb{N}^*)

n

là số thừa số.

a^{n}

đọc là "

a

mũ

n

" hoặc "

a

luỹ thừa

n

a

là cơ số,

n

là số mũ

$a^{1} = a$ .
$a^{2}$ còn gọi là $a$ bình phương; $a^{3}$ còn gọi là $a$ lập phương.
Phép nhân nhiều thừa số bằng nhau gọi là phép nâng lên luỹ thừa.

Ví dụ. Viết

5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5

dưới dạng luỹ thừa và tính giá trị.

Có 4 thừa số, mỗi thừa số bằng 5 nên viết $5^{4}$ .
$5^{4} = 25 \cdot 25$ .

Kết quả:

5^{4} = 625

(cơ số 5, số mũ 4)

Ví dụ. Tính

1 1^{2}

$1 1^{2}$ là luỹ thừa bậc 2 của 11, tức là tích của hai thừa số 11.

Kết quả:

1 1^{2} = 11 \cdot 11 = 121

Ghi nhớ:

1 0^{2} = 100

1 0^{3} = 1000

1 0^{4} = 10000

... Số mũ của 10 bằng số chữ số 0.

Mẹo: Các số 0, 1, 4, 9, 16, ... có dạng

n^{2}

(với

n

là số tự nhiên) và gọi là các số chính phương.

Nhân và chia hai luỹ thừa cùng cơ số

Khi nhân hai luỹ thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng các số mũ. Khi chia hai luỹ thừa cùng cơ số (khác 0), ta giữ nguyên cơ số và lấy số mũ của số bị chia trừ số mũ của số chia.

a^m \cdot a^n = a^{m+n} \qquad a^m : a^n = a^{m-n}\ (a \ne 0,\ m \ge n)

Ví dụ. Viết dưới dạng một luỹ thừa:

3^{5} \cdot 3^{2}

và

7^{9} : 7^{4}

Nhân: giữ cơ số 3, cộng số mũ $5 + 2 = 7$ .
Chia: giữ cơ số 7, trừ số mũ $9 - 4 = 5$ .

Kết quả:

3^{5} \cdot 3^{2} = 3^{7}

và

7^{9} : 7^{4} = 7^{5}

Ghi nhớ: Quy ước

a^{0} = 1

với

a \neq = 0

. Ví dụ

2^{3} : 2^{3} = 2^{0} = 1

Chú ý: Không nhầm

2^{3}

với

2 \cdot 3

2^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8

, còn

2 \cdot 3 = 6

Mở rộng

Gấp đôi liên tiếp tạo ra số rất lớn. Tờ giấy gập đôi 10 lần có $2^{10} = 1024$ lớp. Máy tính cũng dùng con số này: 1 KB = $2^{10}$ = 1 024 byte.

Truyền thuyết về bàn cờ vua và hạt thóc: ô thứ nhất 1 hạt, ô thứ hai 2 hạt, ô thứ ba 4 hạt... Ô thứ $n$ có $2^{n - 1}$ hạt. Đến ô thứ 11 đã có $2^{10} = 1024$ hạt, và các ô sau tăng gấp đôi liên tục.

Theo tính toán, tổng số thóc cần rải trên cả 64 ô bàn cờ trong truyền thuyết là $2^{64} - 1$ hạt, nặng khoảng 369 tỉ tấn.

Mẹo: Các số chính phương 0, 1, 4, 9, 16, 25, ... chính là các số có dạng

n^{2}