Bài 3. Thứ tự trong tập hợp các số tự nhiên

So sánh và sắp thứ tự các số tự nhiên trên tia số, nhận biết số liền trước, số liền sau và các kí hiệu $\le$, $\ge$.

Thứ tự của các số tự nhiên

Mỗi số tự nhiên được biểu diễn bởi một điểm trên tia số gốc $O$ . Điểm biểu diễn số $a$ gọi là điểm $a$ .

Trên tia số nằm ngang, điểm 4 (vàng) nằm bên trái điểm 5 (hồng) nên

4 < 5

Trong hai số tự nhiên khác nhau luôn có một số nhỏ hơn số kia. Nếu số $a$ nhỏ hơn số $b$ thì trên tia số nằm ngang điểm $a$ nằm bên trái điểm $b$ . Khi đó ta viết $a < b$ hoặc $b > a$ , và còn nói điểm $a$ nằm trước điểm $b$ , hoặc điểm $b$ nằm sau điểm $a$ .
Mỗi số tự nhiên có đúng một số liền sau. Chẳng hạn 9 là số liền sau của 8, còn 8 là số liền trước của 9. Hai số 8 và 9 gọi là hai số tự nhiên liên tiếp.
Tính chất bắc cầu: nếu $a < b$ và $b < c$ thì $a < c$ . Chẳng hạn $a < 5$ và $5 < 7$ suy ra $a < 7$ .

Ghi nhớ: Số 0 là số tự nhiên nhỏ nhất và không có số liền trước.

Mẹo: Ta có thể dùng các số tự nhiên 1, 2, 3, ... để đánh số thứ tự: người thứ nhất, người thứ hai, người thứ ba, ...

So sánh hai số tự nhiên

Số có nhiều chữ số hơn thì lớn hơn. Hai số có cùng số chữ số thì so sánh từng cặp chữ số cùng hàng, kể từ trái sang phải, cặp đầu tiên khác nhau cho biết số nào lớn hơn.

Ví dụ. So sánh

m = 4208015

và

n = 4207999

Cả hai đều có 7 chữ số.
So từ trái sang phải: 4 = 4, 2 = 2, 0 = 0, rồi 8 > 7.
Cặp khác nhau đầu tiên là 8 và 7.

Kết quả:

m > n

, nên trên tia số điểm

n

nằm trước điểm

m

Các kí hiệu $\le$ và $\ge$

$a \leq b$ (đọc " $a$ nhỏ hơn hoặc bằng $b$ ") nghĩa là $a < b$ hoặc $a = b$ .
$a \geq b$ (đọc " $a$ lớn hơn hoặc bằng $b$ ") nghĩa là $a > b$ hoặc $a = b$ .
Nếu $a \leq b$ và $b \leq c$ thì $a \leq c$ .

Ví dụ. Liệt kê các phần tử của

{x \in N ∣ 3 \leq x < 7}

$x \geq 3$ nên lấy cả số 3.
$x < 7$ nên không lấy số 7.

Kết quả:

{3; 4; 5; 6}

Chú ý:

x < 4

và

x \leq 4

khác nhau:

{x \in N ∣ x < 4}

có 4 phần tử, còn

{x \in N ∣ x \leq 4}

có 5 phần tử.

Mở rộng

Tập $N$ có số nhỏ nhất là 0 nhưng không có số lớn nhất: dù chọn số lớn đến đâu, cộng thêm 1 ta luôn được số lớn hơn.

Xếp hạng trong đời sống dùng chính thứ tự này: người về nhất, nhì, ba trong cuộc đua. Khi hai số có cùng số chữ số, chỉ cần so chữ số đầu tiên khác nhau, ví dụ khi so sánh giá hai chiếc xe đạp 3 450 000 đồng và 3 540 000 đồng.