Bài 1. Tập hợp

Làm quen với tập hợp, phần tử, kí hiệu thuộc và không thuộc, hai cách mô tả một tập hợp cùng các tập $\mathbb{N}$, $\mathbb{N}^*$.

Tập hợp và phần tử của tập hợp

Khi gom những đối tượng nhất định lại với nhau, ta được một tập hợp (gọi tắt là tập). Mỗi đối tượng trong đó gọi là một phần tử của tập hợp. Tập hợp thường được đặt tên bằng chữ cái in hoa.

A = \{0;\ 1;\ 2;\ 3\}

Các phần tử viết trong dấu ngoặc nhọn, cách nhau bởi dấu chấm phẩy

Kí hiệu	Đọc là	Ví dụ với A ở trên
$\in$	thuộc	$2 \in A$
$\in /$	không thuộc	$5 \in / A$

Ghi nhớ: Khi

x \in A

, ta còn nói "

x

nằm trong

A

" hoặc "

A

chứa

x

Mô tả một tập hợp

Mô tả một tập hợp là cho biết cách xác định các phần tử của nó. Có hai cách:

Liệt kê các phần tử của tập hợp, tức là viết các phần tử trong dấu ngoặc nhọn ${}$ theo thứ tự tuỳ ý nhưng mỗi phần tử chỉ được viết một lần. Ví dụ $B = {1; 3; 5; 7}$ .
Nêu dấu hiệu đặc trưng cho các phần tử của tập hợp. Ví dụ tập $P$ gồm các số 0; 1; 2; 3; 4; 5 còn viết được $P = {n ∣ n$ là số tự nhiên nhỏ hơn $6}$ .

Ví dụ. Viết tập hợp

C

các chữ cái trong từ "TOÁN" bằng cách liệt kê.

Các chữ cái là T, O, A, N (dấu thanh không tính là chữ cái riêng).
Mỗi chữ chỉ viết một lần, các phần tử cách nhau bởi dấu ";".

Kết quả:

C = {T; O; A; N}

Mẹo: Dùng dấu chấm phẩy ";" để ngăn cách các phần tử, tránh nhầm với dấu phẩy của số thập phân.

Chú ý. Tập hợp các số tự nhiên kí hiệu là $N$ , tức là $N = {0; 1; 2; 3; ...}$ . Tập hợp các số tự nhiên khác 0 kí hiệu là $N^{*}$ , tức là $N^{*} = {1; 2; 3; ...}$ .

Viết $n \in N$ có nghĩa $n$ là một số tự nhiên. Chẳng hạn tập $P$ các số tự nhiên nhỏ hơn 6 có thể viết là $P = {n ∣ n \in N, n < 6}$ hoặc $P = {n \in N ∣ n < 6} = {0; 1; 2; 3; 4; 5}$ .

Ví dụ. Liệt kê các phần tử của

Q = {x \in N^{*} ∣ x < 4}

$x$ thuộc $N^{*}$ nên $x$ là số tự nhiên khác 0.
$x < 4$ nên $x$ nhận các giá trị 1, 2, 3.

Kết quả:

Q = {1; 2; 3}

Mở rộng

Tập hợp có hữu hạn phần tử (đếm xong được) gọi là tập hữu hạn, ví dụ các tháng có 30 ngày trong năm dương lịch. Tập $N$ có vô số phần tử nên gọi là tập vô hạn.

Tập hợp không có phần tử nào gọi là tập rỗng, kí hiệu $\emptyset$ . Ví dụ, tập các số tự nhiên vừa lớn hơn 5 vừa nhỏ hơn 6 là tập rỗng, vì giữa 5 và 6 không có số tự nhiên nào.

Lí thuyết tập hợp được phát triển mạnh vào cuối thế kỉ XIX nhờ các nghiên cứu của nhà toán học người Đức Georg Cantor (1845 – 1918). Tập $C$ gồm các phần tử chung của hai tập $A$ và $B$ gọi là giao của $A$ và $B$ , kí hiệu $C = A \cap B$ .

Mẹo: Số phần tử của

{x \in N ∣ 10 \leq x \leq 20}

là

20 - 10 + 1 = 11

(nhớ cộng thêm 1 vì lấy cả hai đầu).